lunes, 12 de octubre de 2009

Ecuaciones De Primer Grado Con Una Incógnita

Las ecuaciones más sencillas son las ecuaciones de primer grado en que sólo aparece una incógnita, llamadas también habitualmente ecuaciones lineales.

Para resolver, por ejemplo, la ecuación 2 x + 3 = 21, se aplica la transposición de términos, dejando la incógnita en un miembro y los términos independientes en el otro miembro:


9 es el único valor que satisface la ecuación. Si este valor x = 9 se reemplaza en la ecuación donde está la incógnita, se obtiene una igualdad:

Para resolver la ecuación 6 x + 4 = 4 x - 2, se agrupan los términos independientes en un miembro y los términos que poseen incógnitas en el otro miembro, mediante la transposición de términos:



La ecuación:
se resuelve pasando 3 x al primer miembro para agrupar los términos en x, y el término 3 al segundo miembro para agrupar los términos independientes, con lo que se obtiene:


Si ahora se saca denominador común:



Pasando el divisor 2 y el factor 7, resulta:


Finalmente, se multiplican ambos miembros por ( -1):



Las ecuaciones lineales aparecen asociadas a la mayoria de problemas algebraicos que pueden plantearse en el marco de la vida cotidiana. Supongamos, por ejemplo, que se trata de resolver la siguiente cuestión: ¿cuál es la distancia que ha de recorrer un excursionista que sigue un determinado itinerario si se sabe que, cuando ha recorrido 2/5 del camino, está todavía a 1 km de distancia de la mitad de la ruta prevista? Si llamamos x a la distancia que se quiere calcular, la figura nos enseña cómo convertir el anunciado anterior en un ecuación.



Tal como indica la figura, resultará que:



Ahora, agrupando los dos términos que contienen x en un miembro de la ecuación, resulta:




Sacando ahora denominador común, tendremos:
Por lo que el valor buscado será x = 10.

domingo, 11 de octubre de 2009

Ecuaciones De Primer Grado Con Dos Incógnitas

Una ecuación lineal con dos incógnitas, como por ejemplo 2 x + 3 y = 6, siempre puede expresarse en forma de función de una variable sin más que despejar una de las incógnitas en función de la otra; así, en ejemplo,

De aquí resulta que toda ecuación lineal con dos incógnitas puede considerarse asociada a la recta que la representa gráficamente; en el ejemplo, sería la recta representada en la figura, que pasa por los puntos ( 0,2 ) y ( 3,0 ).

Obsérvese que la recta que representa a la ecuación va del segundo al cuarto cuadrantes;




ello se debe a que el coeficiente de x en la expresión:



que da el valor de la variable dependiente y en función de los valores de la variable independiente x, es una cantidad negativa. Siempre que ello sea así, la recta irá del segundo al cuarto cuadrantes; cuando el signo del término constante ( 2 en el ejemplo ) sea positivo, la recta seguirá esa dirección atravesando el primer cuadrante, mientras que si el término constante también es negativo, como en el caso de la ecuación ya representada,



atravesará el tercer cuadrante.


La razón de todo ello está en que el valor de y para x = 0 es siempre igual al término constante. En particular, una ecuaxión de la forma a x + b y = 0, en la que a y b son números y el término constante es 0, corresponderá a una función de la forma:


que expresa la proporcionalidad entre x e y, viniendo representada, como ya se ha dicho, por una recta que pasa por el origen de coordenadas.

En el caso de una ecuación como 5 x - y = 2, la expresión de y en función de x será y = 5 x - 2, y la recta que representa a la ecuación irá en la dirección del primer a ltercer cuadrantes pasando por el cuarto cuadrante, tal com omuestra la figura, ya que las intersecciones con los ejes serán:








Ello será así siempre que, en la expresión de y como función de x, el coeficiente de la x sea positivo y el término constante, negativo; cuando el término constante sea positivo, siendo también positivo el coeficiente de la x, como en el caso y = 5 x + 2, representado en la figura, la recta irá del primer al tercer cuadrantes pasando por el segundo.






sábado, 10 de octubre de 2009

Representación Gráfica De Un Sistema De Ecuaciones

Un sistema de ecuación lineales con dos variables se puede representar en un sistema de coordenadas en el cual cada ecuación es una recta. Esto nos permitirá relacionar lo algebraico con lo geometrico. Leamos, por ejemplo:


Las siguientes tablas muestran algunos valores para x e y en cada ecuación. Además, en un mismo gráfico aparecen trazadas las dos rectas:





Si graficamos estas dos rectas:




De las tablas se puede obtener que el par ( 1, 2 ) es solución del sistema y también es el punto de intersección de las rectas:

Comprobando:



Reemplazando los valores de x = 1, y = 2


Queda demostrado


Resolver un sistema de ecuación lineales con 2 incógnitas geometricamente, es encontrar el punto ( x, y ) de intersección entre dichas rectas por esta razón, un sistema puede tener una solución, si hay intersección de rectas secantes, ninguna solución si hay rectas paralelas o infinitas soluciones si las rectas son coincidentes.

Al graficar un sistema de ecuación lineal con dos incógnitas, podemos encontrarnos con 3 situaciones, dependiendo de la posición relativa entre las rectas en el plano cartesiano:




* Ejemplo para cada recta.

(a)









R: Son rectas secantes, hay una solución sistema compatible.


(b)














R: Existen infinitas soluciones ya que las rectas son coicidentes, el sistema es compatible pero indeterminado.

(c)












R: Son rectas paralelas, no hay solución, sistema incompleto.

Método De Reducción

Este método consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por números convenientes para conseguir un sistema equivalente en que el coeficiente de una de las incógnitas en una de las ecuaciones sea igual y opuesto al coeficiente de esa misma incógnita en la otra ecuación; luego, sumando las ecuaciones de este segundo sistema se obtendrá una única ecuacíón donde sólo aparecerá la otra incógnita, cuyo valor podrá despejarse.

Utilizamos el mismo sistema para seguir verificando que con cualquiera de los métodos se obtienen las mismas raíces.

Para eliminar la incógnita x, a la ecuación (1) se la multiplica por -5, y la ecuación (2) por 3, obteniendo así el sistema equivalente:



Sumando ahora las dos ecuaciones, resulta:



Si ahora se sustituye ese valor en (2), por ejemplo, resulta:


Si se hubiera empezado por eliminar la incógnita y, solamente hubiera sido necesario multiplicar la ecuación (2) por el factor 2 para que los coeficientes de la incógnita fueran iguales y de signo contrario.


Sumando las dos ecuaciones, se tendría :

Sustituyendo ahora ese valor en (1), por ejemplo, resultaría:




En definitiva, obtendríamos la solución

viernes, 9 de octubre de 2009

Método De Sustitución


Dado el sistema, en la ecuación número (1) se despeja una de las dos incógnitas, por ejemplo la x; luego se reemplaza dicho valor en la ecuación número (2). Así se obtiene una ecuación lineal de una incógnita ( que es y).

a) Se despeja la x en la ecuación (1)




b) Se reemplaza el valor de la x en la ecuación (2)




c) Se realizan las operaciones indicadas y luego se hace la transposición de términos despejando y:




Sustituyendo este valor de y en la expresión




resulta:




Así, las soluciones del sistema son:




El valor de la segunda incógnita también puede hallarse sustituyendo el valor de la primera en una de las ecuaciones.

Sustituyendo en (1) el valor de y = -2:




Naturalmente, obtendríamos el mismo valor de x sustituyendo el valor de y = -2 en (2):